La symétrie perturbée

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On plie une feuille de papier en deux puis on la déplie à angle droit. 

 

On répète l'opération une seconde fois
puis une troisième fois et on obtient ainsi une ligne brisée de 23 = 8 côtés.


 
Si on effectue n pliages on obtient alors une ligne brisée de 2n côtés, c'est un nombre qui grandit très vite avec n
 
 

    Un mobile parcourant la ligne brisée correspondante à un pliage simple effectuera un mouvement à gauche que l'on peut symboliser par la lettre g. Un double pliage consiste alors à encadrer le "g" du second pliage par le g du premier tirage et son symétrique d. Le mouvement du mobile peut être symboliser par le "mot" g g d. De même un troisième pliage consiste à encadrer g par ggd et son symétrique gdd (symétrie que l'on obtient en inversant la chaîne et remplaçant g par d et d par g) d'où la séquence ggd g gdd. Ainsi au quatrième pliage on obtient ggddgdd g  ggdggdd
 
 

    De façon générale, si mn est le mot correspondant à n pliages alors mn = mn - 1 g s (mn - 1), s étant l'opérateur de symétrie défini antérieurement. L'ajout de cet élément central g dans le mot mng s (mn) perturbe la symétrie. Lorsque la feuille de papier est repliée un nombre important de fois, voire un nombre infini de fois, apparaît alors une courbe d'allure très complexe appelée "courbe du dragon". 
 

    Si dans cette chaîne il n'yavait pas cet élément central g alors la suite des chaîne serait formée des éléments g, puis g d puis de nouveau par symétrisation gd gd puis gdgd gdgd et ce qui contrairement à ce qui précède ne produit qu'une alternance de d et de g
 
 

    Le programme qui suit génère une courbe du dragon sans mémorisation de la chaîne ggddgddg... correspondante. Il utilise deux procédures récursives croisées. 
 

public void sn (int n, Graphics g) 
  { if ( n > 0) { sn (n - 1, g) ;  gauche (g) ;  snm1 (n - 1, g) ; }  }
 correspondant à  (1) mn = mn - 1 g s (mn - 1) et 
 
public void snm1 (int n, Graphics g) 
  { if ( n > 0) { sn (n - 1, g) ; droite (g) ; snm1 (n - 1, g) ; }  }

correspondant à s (mn) = mn - 1 d s (mn - 1) ; en effet on peut remarquer que d'après (1) : 
s (mn) = s (mn - 1 g s (mn - 1)) = s (s (mn - 1) s (g) s (mn - 1) = mn - 1 d s (mn - 1) car s (g) = d, s (ab) = s(b) s (a) et s (s (a)) = a pour tous mots a et b. 

Remarque : un nombre important de pliages augmente le temps de tracé de façon sensible. La courbe prend alors une place  énorme on doit alors diminuer le pas du tracé (qu'on peut même prendre égal à 0.1). Attention si le nombre de pliages dépasse 15, cela risque d'être long. [ D'après "Principes de la symétrie perturbée" de Michel Mendes France - l'ouvert n°49 de décembre 1987 - journal de l'A.P.M.E.P d'alsace et de l'I.R.E.M. de Strasbourg ]
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