alt : arbre.jar

Arbre et loi binomiale

Classe de 1re - programme de 2011

 

X suit une loi de Bernoulli de paramètre p signifie que P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1 - p.

Soit X1, X2, ..., Xn des variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de même paramètre p. La variable aléatoire Sn = X1 + X2 + ... + Xn suit une loi binomiale de paramètre n et p.

Sur l'arbre ci-joint on peut remarquer que pour arriver à une branche correspondante à la valeur k (k variant de 0 à n) il faut emprunter k chemins montants et n - k chemins descendants. La probabilité est donc à chaque fois pk(1 - p)n - k.

Replier l'arbre (utiliser le curseur à droite du bouton ok) revient à regrouper les branches arrivant à la même valeur. On a dans ces conditions :

P (Sn = k) = k parmi n pk(1 - p)n - kk parmi n est le nombre de chemins possibles pour arriver branche correspondante à la valeur k. Ce nombre appelé coefficient binomial, enoncé «k parmi n» s'obtient à partir d'un triangle de Pascal.

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