Les p'tits sous

Il était une fois ... en 2004 ... une balance pour les marchands de légumes. Cette balance arrondit automatiquement le prix de chaque produit pesé comme indiqué ci-dessous :

centimes
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
arrondi
0
0
0
5
5
5
5
5
10
10
gain
0
-1
-2
+2
+1
0
-1
-2
+2
+1

La troisième ligne donne les gains du commerçant. Le gain et la perte pour chaque pesée est au plus 0,02€ et la moyenne arithmétique des gains est nulle. Ainsi finies les manipulations de pièces de 1 et 2 centimes.

Pour des mois de 20 000 pesées, le gain ou la perte cumulés seront sûrement inférieurs à 400€ ; c'est une broutille sur un tel nombre de pesées : avec un prix moyen de 2 €, le gain ou la perte sont d'au plus 1%.

Grâce à la simulation ci-dessous on peut se rendre compte que quasiment tous les gains cumulés sont entre -8 et +8€. Comment expliquer ce passage de [-400 ; +400] à [-8, +8] ? Eh bien c'est la le théorème central limite qui permet de conclure : l'arrondi de chaque pesée est une variable aléatoire d'espérance nulle et d'écart-type 0,01 . Ainsi , où G est le gain correspondant à 20000 pesées, suit approximativement une loi normale centrée réduite. Dans ces conditions P (-8 < G < 8) = P (-4 < < 4) = 0,99993. A chacun de choisir : on est sûr à 100% que le résultat est dans [-400 ; +400], mais on est sûr aussi à 99,993 % que le gain est dans [-8, +8] !

Simulation

voir une publication du groupe statistique de l'IREM de Grenoble http://www.ac-grenoble.fr/irem/feuille.html (feuille n° 11) pour plus de détail.