Il était une fois ... en 2004 ... une balance pour les marchands de légumes. Cette balance arrondit automatiquement le prix de chaque produit pesé comme indiqué ci-dessous :
centimes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 arrondi 0 0 0 5 5 5 5 5 10 10 gain 0 -1 -2 +2 +1 0 -1 -2 +2 +1 La troisième ligne donne les gains du commerçant. Le gain et la perte pour chaque pesée est au plus 0,02€ et la moyenne arithmétique des gains est nulle. Ainsi finies les manipulations de pièces de 1 et 2 centimes.
Pour des mois de 20 000 pesées, le gain ou la perte cumulés seront sûrement inférieurs à 400€ ; c'est une broutille sur un tel nombre de pesées : avec un prix moyen de 2 €, le gain ou la perte sont d'au plus 1%.
Grâce à la simulation ci-dessous on peut se rendre
compte que quasiment tous les gains cumulés sont entre -8 et +8€.
Comment expliquer ce passage de [-400 ; +400] à [-8, +8] ? Eh bien c'est
la le théorème central limite qui permet de conclure : l'arrondi
de chaque pesée est une variable aléatoire d'espérance
nulle et d'écart-type 0,01 
.
Ainsi 
, où
G est le gain correspondant à 20000 pesées, suit approximativement
une loi normale centrée réduite. Dans ces conditions P (-8 <
G < 8) = P (-4 <
< 4) = 0,99993. A chacun de choisir : on est sûr à 100% que
le résultat est dans [-400 ; +400], mais on est sûr aussi à
99,993 % que le gain est dans [-8, +8] !
| Simulation |
voir une publication du groupe statistique de l'IREM de Grenoble http://www.ac-grenoble.fr/irem/feuille.html (feuille n° 11) pour plus de détail.